а) Сделаем рисунок (Рис. 1.)
Рис. 1.
Требуется доказать, что отрезки и пересекаются.
Необходимым условием пересечения двух отрезков является принадлежность их одной плоскости. Покажем, что и лежат в одной плоскости.
Прямые и пересекаются в точке , а, как известно, через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну. Следовательно и есть та самая плоскость.
Отсюда следует, - четырёхугольник, причём выпуклый (четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону).
и - его диагонали, а, как известно, диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Что и требовалось доказать.
б) Требуется найти отношение .
Рассмотрим . По теореме Менелая:
По условию , поэтому имеем:
Рассмотрим . По теореме Менелая:
По условию , поэтому имеем:
Из . Подставляя в , получим:
откуда: .